Haskel モナドの解説 from 2ch - From a Far East Island

735 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 00:11:39
>>733
3行で説明するのは俺には無理．

まず定義5．これは実際に手を動かすと見えてくるので，
具体例でやるのが良いと思う．以下はその pdf にもある例．

1. リスト函手
・型 A に対し T A は A のリストを作る：
　　T A = [A]
・関数 f :: A -> B に対し T f :: [A] -> [B] は次の関数を作る：
　　T f = map f
・μ_X は X 型のリストのリストをならして X 型のリストを作る：
　　μ_X = concat
・η_X は X 型の値 x からそれだけからなる [X} 型のリスト [x] を作る：
　　η_X = singleton = (:[])

これらを図に代入して，ちゃんと可換になることを確認するよろし．

736 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 00:18:09
こっちも同様に確認するとμ，ηの雰囲気がより分かるかも．

2. Maybe函手
・型 A に対し T A は Maybe A を作る：
　　T A = Maybe A = Just A | Nothing
・関数 f :: A -> B に対し T f :: Maybe A -> Maybe B は
　　(T f) (Just a) = Just (f a)
　　(T f) Nothing = Nothing
・μ_X は Maybe (Maybe X) を Maybe X にする：
　　μ_X (Just (Just x)) = Just x
　　μ_X (Just Nothing) = Nothing
　　μ_X Nothing = Nothing
・η_X は X の値 x を (Just x) にする：
　　η_X x = Just x

737 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 00:49:19
やっと分かった！
drop 5もreverseもnullも自然変換で、
map succやallは自然変換でないと。
前者は構造のみを扱い、後者は要素が絡んでいることを反映しているのか。

これ考えた奴は天才だな。

738 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 00:50:21
次に定義6．こっちも具体例が条件を満たすことを確認すると見える．

1. リスト函手．これはありがたみが分かりづらい．
・f* = flatten . map f

2. Maybe函手．
・f* = Just . f

Maybe がこれでハッピーなのは，次の具体例を考えると分かる：
「バッグからアドレス帳を取り出し，
　今日誕生日の人を探し，携帯電話を取得する」
これを関数合成で次のように書けるとうれしい：
　getPhone . findBornToday . getAddressbook
ただ，各関数の自然な型は
　getAddressbook :: Bag -> Maybe Addressboo（もってないかも）
　findBornToday :: Addressbook -> Maybe Person（いないかも）
　getPhone :: Person -> Maybe Phone（もってないかも）
なので合成ができない．そこで，* を使って
　getPhone* . findBornToday* . getAddressbook
と書いてやると型があってハッピー．Haskell ではこれを
　getPhone <<= findBornToday <<= getAddressbook
と書けるようになってる．

739 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 01:06:12
定義5の可換を具体例で示すことはできた。
が、『μが結合則、ηが恒等元の役割をする』というところがピンとこない。
なにとぞ、悟りの光をお与えください。

740 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 01:29:09
「結合則」という意味：
　左側の図で上側を通る計算はμを中置記法で書き，
　TμT = T と簡約しないでおくと
　　T T T A --> (TμT) T A --> (TμT)μT A
　となる．同様に下側を通る計算は
　　T T T A --> T (TμT) A --> Tμ(TμT) A
　となる．これが（任意の A について）等しいのだから，雰囲気は
　　(TμT)μT = Tμ(TμT)　　…代数で言うところの結合則

「恒等元」という意味：
　右側の図で左側の三角形の真ん中を通る計算は
　ηT = T T と簡約しないでおくと
　　T A --> ηT A --> ημT A
　右側の三角形の真ん中を通る計算は
　　T A --> Tη A --> Tμη A
　これが恒等写像 id_TA に等しいのだから，雰囲気は
　　ημT = Tμη = T　　…代数で言うところの恒等元，単位元

741 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 03:45:58
>>740
㌧クス　結合法則のほうは分かったｗ　　中置記法が味噌かよｗｗｗ
中置記法で書くと確かに結合側に見えるｗ
麻呂は前置記法で書いていたので、どう見ても結合法則ではなく可換を意味しているようにしか
見えなかったでおじゃるｗ

恒等元のほうは、まだ分からんｗ
ηだけで恒等元？？　　（ημ）で恒等元？　
でもサ変と右辺でημとμηでひっくり返っているし

もう３行ばかり解説頼むｗ

742 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 07:50:31
>>741
一般に，二項演算 * に対して e が恒等元であるとは
任意の a に対して e * a = a * e = a を満たすことを言う．
μを中置記法で読めば，最後に出てくる式はこれと同じ．

743 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 09:20:05
>>740
凄い！なんかわかった気になる。
そうか、μをfunctor間の演算とみなせばよかったのか。

ところで>738の例で
Maybe functorがf* = Just . f
とあるけど、これでfindBornToday*が
Addressbook -> Maybe Person
から
Maybe Addressbook -> Maybe Person
になるんだろうか？
fをもちあげないといけない気がするんだが…

744 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 10:25:48
>>743
そのとおりで，こちらのミス．手抜きをしたのがいけなかった．以下が正しい．

f* (Just x) = Just (f x)
f* Nothing = Nothing

745 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 10:35:57
ああまたミス．f* (Just x) = f x，f* Nothing = Nothing．起きたばかりだけど寝てくる．

746 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 18:09:27
lispとどっち勉強するか迷ってます
lispよりも強力なのがhaskellってことでいいのでしょうか？
強力というのは最小限の手間で複雑な処理がかけるという意味で

747 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 18:40:24
>>746
迷ったなら両方やっとけば。
Lispは風呂敷。なんでもリストでつつんでしまう。良く言えば柔軟。悪くいえば節操がない。
Haskellはディナー用食器セット。テーブルマナーがわかっていれば心地良い。

748 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 18:56:11
>>747
＞Haskellはディナー用食器セット。テーブルマナーがわかっていれば心地良い。
でも調理は自分で、でも何故かアレルギー反応する人がいるのがおもしろい。

749 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 19:59:31
昨日は詳しい人がいたのね。

HaskellのMonadって、実はKleisliの方が近いんじゃないか、と思うんだけど、
何でMonadと呼ばれているんだろう？

(T,η, *)と(M, return, flip (>>=))が対応してるのに対して、(T, η, μ)とは
間接的にしか対応してないのに。Monadなんて使わなければ関連する定義
も1つ減って幸せな気がする。

750 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:08:19
対象→例えば数字だったり、式だったり、式＋式だったり
群　 →対象の集まり
圏　 →対象と射の集まり

これで認識あってる？

751 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:21:00
モナドは函手の間の演算だってそういうことですか・・・。

752 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:30:13
>>750
数学の用語としてだったら、群は間違ってる。
群は、可逆な演算の定義された集合の事（厳密な言い方でないけど）。
例えば、整数の集合に足し算と引き算を定義すれば、群である。
圏は一応あってると言っていいと思う。

753 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:33:50
可逆という言葉がわからん
集合という言葉の定義がわからん

754 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:39:02
群はモノイドでかつ任意の元に対して逆元が存在するもの。

755 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:40:22
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96

756 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:48:49
やっぱりボチボチと圏論わかってきてるひと増えてるんだね。
でも、やっぱりよくわからのだがこれ一体なんの役に立つんだ？

757 ：750：2007/02/15(木) 22:50:04
たぶん、オブジェクト指向のようなものだと思うんだが

758 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 22:55:56
>>749
一般にプログラミング上の専門用語は、
「寓意的・即物的」であることが好まれるからだろう。

"Kleisli" なんていう、
どう読めばよいのかも分からない人名をつけるよりも、
"Monad" なんて単語のほうがずっとイメージしやすいしね。

この特徴は、プログラミングが「科学」ではなく、
まさに「工学」であることの証拠のように思える。

ていうか、ここら辺はむしろ「科学」のほうが異常なんだと思う。
発見者（又は、偉大な業績を残した先人達）の学問上の
功績を称えるために、発見したものに対して
その人の名前を冠する、という悪しき慣習のために、
新しい概念に対して本当にふさわしい名前をつけることが
出来てないんだよ。

759 ：756：2007/02/15(木) 22:56:08
>たぶん、オブジェクト指向のようなものだと思うんだが

なるほど。
でも、だとしたらコストが高すぎる。一体どれだけ時間かかるんだ。

ていうか、いい加減コーディングスタイル確立してくれ。
というわけで偉い人がんばってくれ。

760 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:01:46
>>758
Haskell改名要求ｷﾀｰ

761 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:02:08
>>755

こんな感じ？

762 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:06:59
>>759
確かにHaskellって名前あんまり良くないかも。

763 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:09:07
>>760
"Haskell" 自体は「専門用語」ではないから桶。
あれは「固有名詞」であって、云わば商品名のようなもの。
どんな名前をつけようが関係ない。

764 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:12:46
>749 >758

そっか、HaskellのMonadと圏論のMonadは別物だったのか…ちょっと驚き

765 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:12:48
で、結局 Kleisli って、どう読むの？

766 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:39:55
クライスリーだそうです。

767 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:40:59
>>742
㌧クス！！　定義5までは理解した気がするぉ！（＾ω＾）ｖ　

（Ｔ　μ　η）　が　（対象　演算子　単位元）か。　しかし対象　Ｔ　は　Ｔ　１個だけか？
実は理解してないか？（＾ω＾；）？

定義6についてはこれからエロ画像見ながら考えるぉ

768 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/15(木) 23:44:10
Tは自己函手だ。
μ、ηは自然変換。

769 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 00:28:35
＞（Ｔ　μ　η）　が　（対象　演算子　単位元）か。

モノイドとしてみた場合の話だぉ。

770 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 01:03:24
>モノイドとしてみた場合の話だぉ。

モノイドとしてみるならTは集合としてみるべき。

771 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 01:46:57
>>756
すごく大雑把に言うと，チューリングマシンや
λ計算などがあったところに，新しい定式化として
圏論に基づくものが現れたという背景がある．

現在，普通のプログラマはチューリングマシンや
λ計算を知らなくても特に問題は起きないけれど，
それと同じようなものだと考えるのが順当だと思う．
（もちろん知ってたほうが良いのは確かだけど，
　とりあえず大雑把なところを抑えておけば十分．）

ラーニングコストが高いのは，まだ新しい理論である
ということと，従来の手法よりも数学的に取り扱いやすい
枠組みとして導入されたことがあるので，教育用に
整理されてない現段階では，好きな人がやるものだと
思ったほうがよいと，個人的には思う．

772 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 01:56:04
>>764
別物というとちょっと語弊があって，
Kleisli triple と monad は一対一対応するので，
どちらで定義しても「本質的には同じもの」になる．

言い方としては，
　Haskellでは monad は Kleisli tripleで定義される
というのが間違いないと思う．

773 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 02:06:17
>>771
まだまだ未開拓なのか・・・。

>>772
>Kleisli triple と monad は一対一対応するので，
>どちらで定義しても「本質的には同じもの」になる．

！！ですよね。

774 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 02:45:29
　　　　 ...|￣￣ |　＜この話はいつ終わるのかね？
　　　／:::|　　___|　　　　　　 ∧∧　　 ∧∧
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775 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 02:52:32
ほかの面白そうな話が始まったら

776 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 03:09:00
main = この話 >> main

777 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 04:22:40
いや、この路線でいこう。

おれは、参加できないが。

778 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 11:52:48
結局、実際に有用なのはモナドのどの性質なんだ？
射の合成則なのか？　

対象に順番に射が作用しているという点で、結合則を利用しているようには見えないんだが？

ちんぷんかんぷんだぜ

779 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 13:40:19
python経由でならc++もよべるんですよね？

780 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 15:02:44
ごめん，だいぶ長文になった．うざかったらスルーしてくれ．

>>778
「射の合成則」は monad ではなく圏の性質なので
これを落とすと圏論で議論ができなくてうれしくない．

Monad を Kleisli triple (T,η,*) で定義したとき，
どれが利いているのかと言うと「全部そろって意味がある」
という答えになってしまう．

では，どんな意味があるのかというと，標語的に言えば，
「monad は『計算』をモデル化できる構造」
となる．これはもう少し説明すると η, * が実際にどう働くかが
見やすくなるので，せっかくだから Haskell の計算をモデル化してみる．

781 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 15:09:47
続き．本当は以下の例は正しい Haskell の計算モデルでないし
定義もいくらか怪しいけれど，イメージということで許していただきたく．

>>778
例として
　sqr x = x * x，dup x = 2 * x
という関数を考え，sqr (dup 3) という『計算』を考えてみる．
いわゆる手続き言語ではこの式は
　sqr (dup 3) = sqr 6 = 36
と『計算』を次々と『値』に潰していくので
型は常に整合しているんだけど，Haskell では
　sqr (dup 3) = (dup 3) * (dup 3) = ...
『計算』そのものを『計算』していく．これは sqr の型を
考えるとちょっと奇妙．だけど monad (T,η,*) を
　T：X を「X を返す『計算」にうつす函手
　η：『値』をその値を取り続ける『計算』にする自然変換
　*：『値』を取る『計算』から『計算』をとる『計算』への変換
と定義してやり，sqr (dup 3) が本当は
　sqr* (dup* (η3))
を意味していると思うと，きれいに理解できる．
（この η, * は Kleisli triple の条件を満たしている．
　ほかの計算モデルでも η， * は同じような役割を果たすので
　Kleisli triple の条件が必要なのが理解できる）

782 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/16(金) 20:16:29
>781

おお、何だか凄そうな人が！
いくつか質問させてください。

(1)
>　T：X を「X を返す『計算」にうつす函手
>　η：『値』をその値を取り続ける『計算』にする自然変換
>　*：『値』を取る『計算』から『計算』をとる『計算』への変換
という定義から、
> この η, * は Kleisli triple の条件を満たしている．
は必ず言えるのでしょうか？上の定義は型に関してKleisli tripleの条件を満たす＋ηが自然変換
ということだと思うのですが、「ηが自然変換」ということからKleisli tripleの3条件が出てくるのでしょうか？

(2)
Kleisli tripleの3つめの条件
g* o f* = (g* o f)*
の直感的な意味はなんでしょう？

(3)
λ計算はCCCで普通に解釈できるのにsqr x = x * x，dup x = 2 * xになると
Kleisli categoryが必要になるのは、名前があるからでしょうか？

783 ：デフォルトの名無しさん：2007/02/17(土) 01:44:14
>>780-781
Haskellの旦那！ありがとう、かなり理解がすすんだぉ（Vipperなりに）。
>>733の定義６でKleisliトリプレットがモナドを為す事も、そこからKleisliカテゴリをだす事も
示せた（と思う　＾ω＾；）。

T μ （T μ T）　＝ T μ （T*・T）　＝　T*・（T*・T）
（T μ T）μ T 　＝（T*・T）μ T　＝　（T*・T）*・T

こんな感じで射だけを先に色々合成できるので、遅延評価を記述するのに便利
という風に納得したぉｗ

sqr* (dup* (η3)) = (sqr* ・ dup)* ・ (η3)

こんな風に使える？みたいな？